วิชา คณิตศาสตร์: บทที่5

บทที่5

..สมการกำลังสอง (quadratic equations) คือ สมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 บางครั้งเรียกสมการกำลังสองว่า สมการดีกรี 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง คือ
……………………. $ax^2 + bx + c = 0$
….. เมื่อ $a, b, c$ เป็นค่าคงตัว และ $a \not= 0$

…..การแก้สมการกำลังสอง หมายถึง การคำนวณเพื่อหาค่าของตัวแปร ซึ่งจะได้ค่าตัวแปร 2 ค่า โดยค่าทั้งสองอาจเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้ ค่าของตัวแปรที่ได้บางครั้งเรียกว่า รากของสมการหรือ คำตอบของสมการ
…..วิธีแก้สมการกำลังสอง ก่อนที่จะทำการคำนวณหาค่าตัวแปรของสมการกำลังสอง ให้จัดขวามือของเครื่องหมายเท่ากับให้เป็น 0 แล้วการคำนวณจะมีได้ 3 วิธี คือ โดยวิธีแยกตัวประกอบ โดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ และโดยวิธีใช้สูตร

…..การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ
…..ทำได้โดยการแยกตัวประกอบ (factors) แล้วใช้หลักว่า เมื่อผลคูณของตัวประกอบเป็น 0 (ขวามือขอเครื่องหมายเท่ากับ) แสดงว่า ตัวประกอบบางตัวเป็น 0 หรือทุกตัวประกอบเป็น 0

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ $x^2-4x+3 = 0$
วิธีทำ……….. $x^2-4x+3 = 0$
…………… $(x-3)(x-1) = 0$
…………………………….. $x = 1, 3$ ……….#

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ… $8x^2-2x=3$
วิธีทำ จัดขวามือของเครื่องหมายเท่ากับให้เป็น $0$
……………………. $8x^2 - 2x - 3 = 0$
……………….. $(4x-3)(2x+1) = 0$
……………………………………. $x =\frac{3}{4}$ , $-\frac{1}{2}$ ……….#

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ $12x^2+9 = 56x$
วิธีทำ……. $12x^2-56x+9 = 0$
………… $(6x-1)(2x-9) = 0$
……………………….. $x = \frac{1}{6}, \frac{9}{2}$ ……….#

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ… $y^2=\frac{1}{6}y+2$
วิธีทำ จัดสมการใหม่ได้เป็น $y^2-\frac{y}{6}-2 = 0$
………. นำ $6$ มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้
……………………. $6y^2 - y - 12 = 0$
……………………. $(3y+4)(2y-3) = 0$
……………………………………. $y =-\frac{4}{3}$ , $\frac{3}{2}$ ……….#

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ… $x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{2} = 0$
วิธีทำ …….. นำ $12$ มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้
…………….. $12(x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{2}) = 12\times 0$
……………………. $12x^2+x-6 = 0$
…………….. $(3x-2)(4x+3) = 0$
……………………………… $x = \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}$ ……….#

ตัวอย่างที่ 6 จงแก้สมการ $-6x^2+12x-6 = 0$
วิธีทำ……… $-6(x^2-2x+1 )= 0$
…………..นำ $-6$ มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้
……………….. $x^2-2x+1 = 0$
……………. $(x-1)(x-1) = 0$
……………………………… $x = 1$ ………#

ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ $1.5y^2 = 7.7y-1$
วิธีทำ……. $1.5y^2 - 7.7y+1 = 0$
…………..นำ $10$ มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้
………….. $15y^2 - 77y+10 = 0$
…………. $(15y-2)(y-5) = 0$
…………………………… $y = \frac{2}{15}, 5$ …
แบบทดสอบเรื่องสมการกำลังสอง
พร้อมเฉลย
จงหาค่าของ x จากสมการต่อไปนี้

1) 4x² + 12x = 0 ... เฉลยข้อ 1...

2) 3x² + 9x = 0 ... เฉลยข้อ 2...

3) 4x² = 16x ... เฉลยข้อ 3...

4) 3x² = 21x ... เฉลยข้อ 4...

5) 2x² + 7x = 0 ... เฉลยข้อ 5...

6) 4x² = 9x ... เฉลยข้อ 6...

7) x² + 6x + 8 = 0 ... เฉลยข้อ 7...

8) x² + 11x + 24 = 0 ... เฉลยข้อ 8...

9) x² + 2x = 15 ... เฉลยข้อ 9...

10) x² + 2x = 48 ... เฉลยข้อ 10...

11) x² + 25 = 10x ... เฉลยข้อ 11...

12) x² = 2x + 15 ... เฉลยข้อ 12...

13) x² = 5x + 14 ... เฉลยข้อ 13...

14) x² + 12 = 7x ... เฉลยข้อ 14...

15) x² + 60 = 17x ... เฉลยข้อ 15...

16) x² = 9x + 22 ... เฉลยข้อ 16...

17) x² = 3x + 18 ... เฉลยข้อ 17...

แบบฝึกหัดสมการกำลังสอง

    สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ทำได้โดย

อาศัยการแยกตัวประกอบ หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b ตัวอย่าง         จงหาคำตอบของสมการ   x2 – 32x + 31              =          0

                                                   x2 – 32x + 31              =          0

                                                   ( x2– 31 ) ( x – 1 )       =          0

        ดังนั้น      x – 31       =    0             หรือ         x – 1     =    0

                                 x       =    31            หรือ               x    =    1

            คำตอบของสมการคือ  31 และ 1
ตัวอย่าง           จงหาคำตอบของสมการ              x2+ 5x + 6          =      0

                                         x2 + 5x + 6                =       0

                                         ( x + 2 ) ( x + 3 )        =       0

                ดังนั้น      x + 2 = 0  หรือ   x + 3 = 0

                                x = -2  หรือ  x = -3

                คำตอบของสมการคือ  -2 และ -3

...........................................................................

      ในการแก้สมการบางครั้ง ถ้านำค่าคงตัวมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการ จะช่วยให้การแยกตัวประกอบเพื่อหาคำตอบของสมการทำได้ง่ายขึ้น
ตัวอย่าง                จงแก้สมการ     -6x2 + 12x – 6      =     0

                     -6x2 + 12x – 6      =   0

นำ -6 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้

                x2– 2x + 1             =    0

            ( x – 1 ) ( x – 1 )       =   0

ดังนั้น   x – 1                       =    0

                    x                          =    0

            คำตอบของสมการคือ 1
 ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ      1.5x2       =    7.7x - 1

           1.5x2 -  7.7x + 1      =            0
                นำ 10 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ  จะได้
                                 15x2 – 77x + 10           =    0
                                ( 15x – 2 ) ( x - 5 )         =    0
                ดังนั้น  15x – 2 = 0 หรือ  x – 5 =  0
                                x =  เศษ 2 ส่วน 15 หรือ 5
                คำตอบของสมการคือ  เศษ 2 ส่วน 15 และ 5

    ..............................................................................

    การหาคำตอบของสมการกำลังสองในรูป  ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ใน

กรณี c มีค่าเป็น 0 ใช้สมบัติการแจกแจง
ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ         15x2 – 10x          =      0

                                   15x2 – 10x           =     0
                                                           5x2 ( 3x – 2 )        =    0

               ดังนั้น   5x  =  0  หรือ  3x  – 2 =  0

                x = 0  หรือ  x = เศษ 2 ส่วน 3

        คำตอบของสมการคือ  0 และ เศษ 2 ส่วน 3

.........................................................................

    การหาคำตอบของสมการกำลังสอง ในรูป ax + bx + c = 0 เมื่อ a , b ,c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณีที่ c มีค่าเป็น 0 การแก้สมการกำลังสองที่ได้รูปทั่วไปเป็น x2 = c  เมื่อ c > 0   x2 – c = 0
ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ    x2  – 169                      =             0
                                                    x2 -  132                                 =             0
                                                  ( x – 13 ) ( x + 13 )         =           0

                    ดังนั้น      x – 13 = 0  หรือ x + 13 = 0

                                    x = 13 หรือ x = -13

                          คำตอบของสมการคือ  13 และ -13
 ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ  4x2  =   16

                                             4x2  - 16                   =         0

                                              ( 2x )2 – 42              =         0

                                            ( 2x – 4 ) ( 2x + 4 )   =         0  
                    ดังนั้น    2x  – 4  =  0   หรือ   2x + 4   =  0
                   x = เศษ 4 ส่วน 2   หรือ  x =   - เศษ 4 ส่วน 2
                                x = 2 หรือ x = -2
                คำตอบของสมการคือ  2 และ -2

    .............................................................................

   การแก้สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น     x2 = c เมื่อ  c > 0
ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ    ( 2x – 3 )2                           =                16
                                          ( 2x  - 3 )2  - 16               =                0

                   ( 2x  - 3 )2  - 42                   =               0
                                     ( 2x – 3 – 4 ) ( 2x – 3 + 4 )  =               0
                                     ( 2x + 1 ) ( 2x– 7 )               =                0
       ดังนั้น    2x + 1 = 0  หรือ  2x – 7   = 0
                2x  = -1  หรือ   2x   =  7
                x = - เศษ 1 ส่วน 2  หรือ  x = เศษ 7 ส่วน 2
คำตอบของสมการคือ  - เศษ 1 ส่วน 2  และ เศษ 7 ส่วน 2

วิชา คณิตศาสตร์

หน้าเว็บ

บทที่5

แบบฝึกหัดสมการกำลังสอง

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น